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矩阵的行列式怎么求

福瑞号2023-01-21 00:30:07问答百科139
矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式,设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵,则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式,记为|A|或det(A)。若A,B是数域P上的两个n阶矩阵,k是P中的任一个数,则|AB|=|A||B|,|kA|=k|A|,|A*|=|A|n-1,其中A*是A的伴随矩阵;若A是可逆矩阵,则|A-1|=|A|-1。
矩阵的行列式怎么求-图1
定理1 设A为一n×n矩阵,则det(AT)=det(A)[2] 。
对n采用数学归纳法证明。显然,因为1×1矩阵是对称的,该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的,对(k+1)×(k+1)矩阵A,将det(A)按照A的第一行展开,我们有:det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1,k+1det(M1,k+1),由于Mij均为k×k矩阵,由归纳假设有
矩阵的行列式怎么求-图2
此式右端恰是det(AT)按照AT的第一列的余子式展开。因此
矩阵的行列式怎么求-图3

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