收敛连续有界的关系(高等数学入门——收敛数列的极限唯一性与有界性)
一、数列极限的几何解释。(“邻域”是高等数学中一个很有用的概念,在以后描述函数的极限及连续性时经常用到。)
二、收敛数列极限的唯一性及其几何解释。(请读者结合上述数列极限的几何解释来理解极限的唯一性。)
三、数列有界性的定义及简单例子。(请思考如何从“正面”描述无界数列,答案:对任意M>0,都存在n使得|xn|>M。)
四、收敛数列的有界性及其推论。(在大学数学的学习中,要逐步养成一个习惯:每学到一个定理都要问自己,它的逆命题成立吗?这对于加深对概念和定理的理解很有帮助。)
五、一个典型例子。(本例的分析过程比较典型,先由极限的唯一性说明该数列发散,再由此说明有界的数列不一定收敛,请读者仔细体会。)
六、浅谈高等数学课程中对概念和定理的学习方法。(高等数学中有些定理的证明难度很大,通常不要求掌握,另一方面大学数学中概念众多,我们要逐步学会从多个角度理解这些概念间的联系。)
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