重心怎么证明二比一(重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1)

如图，G为△ABC的重心，GA=5，GB=12，GC=13，求△ABC的面积和AB边上的高。

解:延长AG、BG分别交BC、AC于D、E，延长CG至M交AB于F，且GM=GC。

因为G重心，则BG=2GE，AG=2GD，又因为GM=GC13，AE=EC，则AM=2GE，即AM=BG=12，又AG=5，有MG^2=AM^2+AG^2，∠MAG=90°，所以△MAG面积=12×5÷2=30。

因为BD=CD，△GBD的面积=△GDC的面积=a，又因为AG=2GD，则△ABG的面积=△AGC面积=2a，所以△ABC的面积=2a+2a+a+a=6a，而由MG=GC可知△AGC的面积=△MAG的面积，即2a=30，a=15，所以△ABC的面积=6a=15×6=90。

因为AM平行且等于BG，则∠BGA=∠AMG=90°，则GA=5，GB=12，AB=GC=13，由△ABC的面积=ABh÷2=90得h=180/13。