二进制、八进制、十进制和十六进制等常用数制及其相互转换
从大学开始系统的接触计算机专业，到现在已经过去十几年了，今天整理一下基础的进制转换，希望给还在上高中的表妹一个入门的引导，早日熟悉这个行业。
一、二进制、八进制、十进制和十六进制是如何定义的？
二进制是Binary，简写为B，二进制只有0和1两个值，计算方法是逢二进一。比如01B+01B(其中B是Binary的首字母，即二进制的简写)，结果就是10B，因为逢二进一，低位的1相加后得2就向高位进1；
八进制是Octal，简写为O，八进制是指有0~7这8个值的表示法，计算方法是逢8进1。比如17O+23O=42O,因为逢8进一，低位的7+3=10，10在八进制就是12，加上原来高位的1+2，结果就是42O；
十进制是Decimal，简写为D，十进制即咱们日常使用的0~9。咱们日常做的计算都是十进制的，计算方法是逢十进一，比如21D+11D=32D；
十六进制是Hexadecimal，简写为H，十六进制用数字0-9和字母a-f（或其大写A-F）表示0到15，计算方法是逢16进1，比如1DH+25H=42H，因为逢16进一，低位的D相当于十进制的13，而5可以看成是十进制的5，相加得18，而18-16=2，因此低位的值为2，高位的值即1+2再加上进位1即得4，高位结果就是4，最后结果是42H；
其中计算机采用的是二进制作为基础，在此基础上拓展了八进制、十进制、十六进制等。
二、为什么二进制是基础？
进制如今主要在电技术的数字电路中。如我们经常使的计算机能够识别的语就是进制语。数字电路中的、低电平；导通、截；开、关；有、无；真、假等等都是二进制表，二进制的逻辑电路使0和1表。
采用二进制主要有以下几个原因：
1、技术实现简单。计算机是由逻辑电路组成，逻辑电路通常只有两种状态，开关的接通和断开，正好用“0”“1”表示。
2、运算规则简单，两个二进制数的和、积运算组合简单。二进制数加法和乘法仅各有3条运算规则( 0＋0＝0，0＋1＝1，1＋1＝1 0和0×0＝0，0×1＝0，1×1＝1 )运算规则简单，有利于简化内部结构，提高运算速度。
3、适合逻辑运算，二进制只有两个数码，和逻辑代数中的“真”“假”相吻合。
4、易于进行转换，二进制数能很容易地转换成八进制、十六进制，也能转换成十进制。
三、为什么有了二进制还需要使用八进制、十进制和十六进制?
八进制和十六进制在现实主要在电技术、计算机编程等领域，这是为了配合二进制使的。上我们说过二进制是计算机所能识别的最直接语，但是二进制的位数太多，不好记录，这时就需要把二进制转化为进制或十六进制。举个例子，买一件商品花费1百块钱，可以使用1元的人民币支付，也可以使用1百元的人民币支付，相对来说，使用百元更方便一点。
十进制主要在常活中，而二进制、八进制、十六进制主要在电技术业。二进制是数字电路、处理器等最直接的语；
八进制以及十六进制都是进存储记忆，但八进制较少使。十六进制来表处理器的寄存器、存储器的地址、数据。
四、进制之间如何转换？
主要思路：二进制数，八进制数、十六进制数可以采用按权展开法转化为十进制数，十进制转化为R进制要分为两部分【这里R进制是泛指，可以代表二进制、八进制、十六进制等】，其中整数部分要除R取余，直到商为0，小数部分要乘R取余直到得到整数。
1. 十进制转R进制
1.1. 十进制转二进制
（1）十进制整数转二进制
十进制整数转换成二进制采用“除2倒取余法”，即将十进制整数除以2，得到一个商和一个余数；再将商除以2，又得到一个商和一个余数；以此类推，直到商等于零为止。
例题： 175D = ___ B
解析：如下图所示，将175除以2，得余数，直到不能整除，然后再将余数从下至上倒取。得到结果：10101111B。
135D = ______ B
（2）十进制小数转二进制
十进制小数转换成二进制小数采用 “乘2取整，顺序排列”法。
具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数 部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。
然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。
例题： 0.68D = ___ B（精确到小数点后5位）
解析：如下图所示，0.68乘以2，取整，然后再将小数乘以2，取整，直到达到题目要求精度。得到结果：0.10101B
1.2. 十进制转八进制
思路和十进制转二进制一样，参考如下例题：
例题： 10.68D = ___ Q（精确到小数点后3位）
解析：如下图所示，整数部分除以8取余数，直到无法整除。小数部分0.68乘以8，取整，然后再将小数乘以8，取整，直到达到题目要求精度。得到结果：12.534Q
1.3. 十进制转十六进制
思路和十进制转二进制一样，参考如下例题：
例题： 25.68D = ______ H（精确到小数点后3位）
解析：如下图所示，整数部分除以16取余数，直到无法整除。小数部分0.68乘以16，取整，然后再将小数乘以16，取整，直到达到题目要求精度。得到结果：19.ae1H
2. R进制转十进制
2.1. 二进制转十进制
方法为：把二进制数按权展开、相加即得十进制数。（具体用法如下图）
例题： 1011 0111B = ______ D
解析：
10110111B=1×2^7+0×2^6+1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0=128+0+32+16+0+4+2+1=183
2.2. 八进制转十进制
八进制转十进制的方法和二进制转十进制一样。
例题： 302Q = ___ D
302.46Q = ___ D
解析：302Q = 3×8^2+ 0×8^1 + 2×8^0= 192 + 0 + 2 = 194D
302.46Q = 3×8^2 + 0×8^1+ 2×8^0+ 4×8^-1 + 6×8^-2= 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375D
2.3. 十六进制转十进制
例题： 23daH = ______ D
解析：23daH = 2×16^3+3×16^2+d×16^1+a×16^0= 9178D
3. 二进制转八进制
二进制转换成八进制的方法是，取三合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（或向右）每三位取成一位。
例题： 1010 0100B = ____Q
解析：1010 0100B = 010 001 100 B=244Q
4. 二进制转十六进制
二进制转换成八进制的方法是，取四合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（或向右）每四位取成一位。
例题： 1010 0100B = ____H
解析：1010 0100B = 1010 0100 B = a4H
总结：二进制转八进制或者二进制转换成十六进制，也可以先转换成十进制，再转换成目标进制。
