九年级上学期数学，一元二次方程，根的判别式的应用
一元二次方程这一章中，根的判别式比较重要，有以下几种应用：（1）不解方程，判断方程根的情况；（2）由方程根的情况，求字母系数的取值范围；（3）探究与几何图形相关的问题；（4）证明方程解的情况等。
一元二次方程中根的判别式为：△=b^2-4ac，其中a、b、c分别为二次项系数，一次项系数和常数项，因此要求出根的判别式，那么需要找到方程中的a、b、c，需要将一元二次方程转化为一般式。
当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△＜0时，一元二次方程无实数根。反过来，若一元二次方程有两个不相等的实数根，那么△＞0；若一元二次方程有两个相等的实数根，那么△=0；若一元二次方程没有实数根，那么△＜0；若一元二次方程有实数根，那么△≥0.
01
不解方程，判定方程根的情况
例题1：实数a，b，c满足a^2+ab+ac＜0，那么一元二次方程ax^2+bx+c=0（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．条件不足，不能确定根的情况
分析：想要判断一元二次方程根的情况，就要判断△与0的关系，与a^2+ab+ac＜0联立就可判断△与0的关系，进而判断出方程根的情况。
判断一元二次方程根的情况，即是判断判别式△与0的大小关系，正确对已知条件进行变形，是解决本题的关键。
02
由方程根的情况，求解字母的取值范围
例题2：已知关于x的一元二次方程x^2-4x+2m-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
分析：（1）由方程有实数根可得出Δ=16-4（2m-1）＞0，解之即可得出m的取值范围；（2）由m的取值范围结合m为正整数可得出m的值，将其代入原方程求出x的值，由x的值为整数即可确定m的值．
03
证明方程的解
例题3：已知关于x的方程：（k-2）x^2-kx+2=0．
（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；（2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根．
分析：（1）把x=2代入方程，列出关于k的新方程；然后由根与系数的关系或公式法解答；（2）证明根的判别式是非负数0即可．
04
探究与几何图形相关的问题
例题4：已知关于x的一元二次方程（a+c）x^2-2bx+（a-c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
分析：（1）把x=1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b，从而可判断三角形的形状；（2）根据判别式的意义得Δ=（-2b）^2-4（a+c）（a-c）=0，即b^2+c^2=a^2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；（3）利用等边三角形的性质得a=b=c，方程化为x^2-x=0，然后利用因式分解法解方程．
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