有限元分析方法(有限元分析)
有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作用的元素（即单元），就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
简单理解就是说，平时我们解决物理问题就是分析问题→建立模型→求解析解。但是实际情况是我们要解决的问题过于复杂，例如几何、载荷、材料等等都太复杂了，无法精确求解，那就只能找一些方法尝试找到近似解（数值解），因此，有限元分析也就诞生了。
有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。广泛应用于所有主要的工程行业中，解决很多问题：
各种固体力学（静态、动态、屈曲和模态分析）
流体流动
传热
电磁等问题
可以使用不同的方法来推导有限元分析中的基本刚度矩阵，基本上都是基于平衡的概念：
一、直接解析法：列出问题的方程，通过寻找满足全场条件的解函数直接求解微分方程，技术难度较高，并且直至用于解决一些较为简单的问题。【直接从强形式出发求解】
二、数值解法：
（1）差分法：通过微分找出差商，列出线性方程组进行求解，操作比较简单，但是计算量很大，解决一些较为复杂的问题。可以看出差分法要比解析法有了一些便利性，但是想要操作更简单，解决的问题更广就需要试函数！（2）试函数法【从弱形式出发求解】：用积分形式描述微分方程，而不是直接求解微分方程。假设的试函数满足一定的边界条件，代入到控制方程中，使得极值最小，求解线性方程组。操作简单，计算量较小，精度也较高，只要确定了试函数，后续的过程也会非常规范，适用范围很广！其中试函数法由于在工程和数学上的不同发展有课分为变分法和加权残值法：
① 变分方法（最小势能原理）：当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。举个例子来说，一个小球在曲面上运动，当到达曲面的最低点位置时，系统就会趋向于稳定平衡的一个原理。
② 加权残值法（伽辽金法）：通过选取有限多项式函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。
常见通用有限元软件包括LUSAS,MSC.Nastran、Ansys、Abaqus、LMS-Samtech、Algor、Femap/NX Nastran、Hypermesh、COMSOL Multiphysics、FEPG等等。
作者：一辈闲 上海交通大学在读博士 学术范签约作者
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