2009高考(2009年高考数学真题)

大家好！本文和大家分享一道2009年高考数学真题。这道题是当年高考全国1卷理科数学的第20题，考查的是递推法求数列通项以及数列求和问题。这道题在当年也是难住了不少的学霸，而对于现在的学生来说，这道题只能算是一道难度不大的常规题。

先看第一小问：求bn的通项公式。

这是一道典型的递推法求数列通项公式的题目。要求bn的通项公式，首先需要通过题干中的关系式表示出bn，即an/n的形式。

由a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n可得：a(n+1)=(n+1)an/n+(n+1)/2^n，两边同时除以n+1，可以得到a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n。即b(n+1)=bn+1/2^n。然后根据这个关系式再求bn的通项公式。

由于上面bn的关系式中两项的系数相同，所以可以用累加法求通项公式。即：

当n≥2时，bn=[bn-b(n-1)]+[b(n-1)-b(n-2)]+...+(b2-b1)+b1=1/2^(n-1)+1/2^(n-2)+...+1/2+b1。

由于b1=a1=1，所以上式的右边就是一个以1为首项、以1/2为公比的等比数列的和，从而解得bn=2-1/2^(n-1)。

再看第二小问：求数列an的前n项和Sn。

要求数列的前n项和，一般需要先求出数列的通项公式。由(1)可知，an=nbn=2n-n/2^(n-1)。

分析数列an的通项公式，可以发现an可以看成是两个数列，即cn=2n和dn=n/2^(n-1)的差，所以an的前n项和也就可以看成是数列cn的前n项和Tn与数列dn的前n项和Rn之差。这用到的就是分组求和的方法。

先求Tn。cn=2n，即cn是以2为首项、2为公差的等差数列，所以根据等差数列求和公式可以得到：Tn=n(2+2n)/2=n(n+1)。

再求Rn。dn=n/2^(n-1)，也就是说dn可以看成是数列{n}与数列{1/2^(n-1)}的积，而数列{n}是等差数列，数列{1/2^(n-1)}是等比数列，所以dn就是我们常说的差比数列。差比数列的方法就是错位相减法。

Rn=d1+d2+d3+...+d(n-1)+dn，再代入各项的值，得到Rn的表达式。接下来，将Rn的表达式的两边同时除以公比1/2，得到Rn/2的表达式，然后两式相减。减完后，等式右边前面这n项是一个等比数列的和，用等比数列求和公式求解，然后两边再同时乘以2，就得到了Rn的值。

最后，由Sn=Tn-Rn就可以求出Sn的值。

这类题型确实是现在高中生一个常见题型，难度也不算太大，如果要增加难度，可以去掉第一小问，直接求数列an的前n项和。那么，这种情况下，你还会做吗？