圆的基本性质是什么(比解决问题更重要的)
电影《教父》中有一句经典台词“那些花半秒钟就看透事物本质的人，和花一辈子都看不清事物本质的人，注定是截然不同的命运。”生活中，其实很多人只知道有问题，却无法掌握问题核心和根基。
那么，当遇到事情时，我们能否有全局性的眼光，去寻求从根本上解决问题的办法，一下子抓住关键点呢？
在一个大型动物园中，一只负责管理澳大利亚袋鼠的动物园饲养员发现袋鼠从笼子里跑出来了。于是，管理人员们诚惶诚恐的展开了讨论会，最终一致认为是笼子的高度过低。所以，它们决定将笼子的高度由原来的十公尺加高到二十公尺。
第二天，他们发现袋鼠又跑到了外面来，他们都觉得一定是高度还不够高，才使得袋鼠跳出来的，所以又决定再将高度加高到三十公尺。
可是，让人意想不到的是，隔天居然又看到袋鼠全跑到了外面来。此时此刻，管理员们都紧张得不行，决定一不做二不休，最终将笼子的高度加高到一百公尺。
这一天，长颈鹿隔着笼子和几只袋鼠们在闲聊：“你们说，这些愚蠢的人们还会不会再继续加高咱们的笼子？”
长颈鹿说：“很难说哦。”
袋鼠偷笑着说：“如果他们再继续忘记锁门的话，估计要一直加高笼子啰！”
会抓事物本质的，往往能迅速洞察到事情的关键。无论对任何事情、任何人有疑问，一定要抓住问题的核心和根基，而不是一味地想当然，向错的方向走。
我们学习圆的知识也如此，有关圆的基本性质的知识涉及概念多，性质应用灵活，需要我们抓住性质的核心去体验其应用特点。
学生每次获得一个新知识，相当于多了一颗珍珠，知识获得得越多，珍珠的数量就越多。如果不加整理，放在盘中，如同一盘散沙，没有太大价值。只有把这些珍珠分类串起来，才会“价值连城”。
有些问题，看似很简单，但通过不同的变式，引申出更多的知识，这并不是把简单知识复杂化，而是让学生不仅知其然，知其所以然，更知何以知其所以然。
圆中的综合题更是初步几何知识的总体结合，它尤其离不开直角三角形，等腰三角形，全等三角形，相似三角形等等，那么在这些综合题中，有哪些辅助线的作法呢？
1.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题；
2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角；有弦中点时常连弦心距；有弦中点时，常构造三角形中位线；证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距；
有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：
连结过弧中点的半径；连结等弧所对的弦；连结等弧所对的圆心角；
有等弧时常作辅助线有以下几种：
作等弧所对的弦；作等弧所对的圆心角；作等弧所对的圆周角；
3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题;有垂直弦时也常作直径所对的圆周角;
4. 圆上有四点时，常构造圆内接四边形；
典型问题
“圆”也是今年来各省市中考的重点内容。题型有以下几种常见类型：
圆的概念和性质的考查主要以填空和选择题的形式出现；此外还有圆周角、圆心角的有关计算，垂径定理的应用，弧长、扇形、圆锥面积的计算，也是中考的常见题型；
圆与三角函数、四边形、函数、方程等结合的综合题、探究题、开放题、动态题，将是中考的重点题型。
例1．（2022安徽中考题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
变式1．（2022宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（ ）
变式2．（2022鄂州中考题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【分析】连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，由矩形的判断方法得出四边形ACDB是矩形，得出AB∥CD，AB＝CD＝16cm，由切线的性质得出OE⊥CD，得出OE⊥AB，得出四边形EFBD是矩形，
变式3．（2022宜昌中考题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．
例2．（2022桥西区校级模拟）老师在黑板上出了这样的练习题：
如图所示，四边形ABCD是⊙O内接四边形，连接AC、BD．BC是⊙O的直径，AB＝AC．请说明线段AD、BD、CD之间的数量关系．
下面是王林解答该问题的思路片段，下列选项错误的是（ ）
如图，过点A作AM⊥AD交BD于点M，
∵★，
∴∠ABM＝∠ACD，
……
∴△ABM≌△ACD（@），
∴AM＝AD，BM＝CD，
∴#是等腰直角三角形，
B．直接依据@表示AAS
C．#是△MAD
D．图中辅助线做法也可以是在BD上取BM＝CD
【分析】根据圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质可得出答案．
【解答】：A．∵∠BAC＝∠MAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAC＝90°﹣∠MAC，
变式1.（2022十堰中考题）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结论：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【分析】由△ABC是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得∠ADB＝∠BDC，即可判断①正确；由点D是弧AC上一动点，可判断②错误；根据DB最长时，DB为⊙O直径，可判定③正确；在DB上取一点E，使DE＝AD，可得△ADE是等边三角形，从而△ABE≌△ACD（SAS），有BE＝CD，可判断④正确．
∴正确的有①③④，共3个，故选：C．
变式2．（2022安徽一模）如图，⊙O的半径为1，A、B、C是⊙O上的三个点，点P在劣弧AB上，∠APB＝120°，PC平分∠APB．
（1）求证：PA+PB＝PC；
（2）当点P位于什么位置时，△APB的面积最大？求出最大面积．
【解析】（1）在PC上截取PD＝AP，连接AD，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得．
变式3．（2022蜀山区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．
（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；
例3．（2022春鼓楼区校级期中）已知：锐角三角形ABC内接于⊙O（AB＞AC），AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、AE交于点F．
【分析】（1）如图1中，作⊙O的直径CM，连接AM，BM．利用勾股定理求出AM，证明四边形AMBF是平行四边形即可解决问题．
（2）如图2中，作⊙O的直径CM，连接AM，BM，设AD交CM于J．证明AO⊥CM．推出∠OAD＝∠BCM，解直角三角形求出∠BCM即可解决问题．
【解答】：（1）如图1中，作⊙O的直径CM，连接AM，BM．
∵CM是直径，∴∠CAM＝∠CBM＝90°，
∵CM＝17，AC＝15，
∴AM＝
∵AD⊥CB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠MBC＝90°，∠BEC＝∠MAC＝90°，∴AD∥BM，AM∥BE，
∴四边形AMBF是平行四边形，∴BF＝AM＝8；
（2）如图2中，作⊙O的直径CM，连接AM，BM，设AD交CM于J．
由（1）可知四边形AMBF是平行四边形，
∴AM＝BF，AF＝BM
∵AC＝BF，∴AC＝AM，
∵∠MAC＝90°，MO＝OC，∴AO⊥CM，
∵AD⊥BC，∴∠AOJ＝∠CDJ＝90°，
∵∠AJO＝∠CJD，∴∠DCJ＝∠JAO，
∵AF＝OA，AF＝BM，
∴OA＝BM，∴CM＝2BM，
∵∠CBM＝90°，
∴sin∠BCM＝
∴∠OAD＝∠BCM＝30°．
变式1．（2022呈贡区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径．若AD＝13，弦AB＝5，则tan∠ACB的值为（ ）
变式3．（2022德阳中考题）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
∵点G为BC的中点，∴OD⊥BC，∴∠BGD＝90°，故③正确；
如图，连接BE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，故④正确．
∴一定正确的①②③④，共4个．故选：D．
变式4．（2022常州一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若AD＝2，CD＝4，则DF的最大值为（ ）
