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高中数学导数,确定函数零点个数,这么好的解法你不学学吗

福瑞号2023-01-25 21:51:06创业分享77
借助导数的知识来求函数零点的个数是高考数学的热点问题,这类问题相对比较简单,一般分两步进行,第一步:求函数的单调区间,第二步,分别判断每一个单调区间两个端点处的函数值的符号,如果符号相反,那么函数在这个单调区间上有一个零点,如果符号相同,那么函数在这个单调区间上没有零点,如果有一个为0,要看单调区间是开区间还是闭区间,根据实际情况来判断。
高中数学导数,确定函数零点个数,这么好的解法你不学学吗-图1
第1题分析:先求函数f(x)的单调区间,一般分三步:第一步,求导函数f'(x);第二步,令f'(x)=0,求出这个方程所有的解;第三步,这些解把定义域分成了若干个区间,分别判断f'(x)在每一个区间上的符号,根据符号确定f(x)的单调性:
高中数学导数,确定函数零点个数,这么好的解法你不学学吗-图2
再分别判断每一个单调区间端点处函数值的符号,最后得出每一个单调区间上有没有零点,详细如下:
高中数学导数,确定函数零点个数,这么好的解法你不学学吗-图3
f(x)在x=1和e处的函数值都小于0,则f(x)在(1,e)上没有零点;f(x)在e和+∞处的函数值一负一正,符号相反,则f(x)在[e, +∞)上有一个零点;所以f(x)在(1,+∞)上只有一个零点。(第2题不难,但最好认真看完,因为你可以学到一个重要的解题技巧
第2题分析:求曲线交点的个数,就是联立曲线方程,方程解的个数就是曲线交点的个数。说明:曲线方程中的y都是1次,所以方程①的解的个数就是方程组解的个数,所以方程①的解的个数就是两条曲线的交点个数。
高中数学导数,确定函数零点个数,这么好的解法你不学学吗-图4
方程①是高次方程,并且很难分解因式,所以它的解的个数很难通过求解来确定,所以考虑把判断方程解的个数问题转化为对应函数零点个数问题:
令f(x)=x-x+1/9,则方程①解的个数等于函数f(x)零点的个数,下面来判断f(x)零点个数:(说明:本题只划分了单调区间,而没有判断单调性,是因为题意要求的是函数零点的个数,只需判断单调区间端点处的函数值的符号即可,不需知道单调性,所以以后在判断函数零点个数时,可以省掉判断单调性这一步骤
高中数学导数,确定函数零点个数,这么好的解法你不学学吗-图5
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