分类加法原理与分步乘法原理(「2020联考」排列组合常考的10大计数方法)
老徐写在前
这么多年教学下来，老徐就没怎么听同学说过排列组合简单的。大部分都是哀嚎遍野，一直贯穿着老徐说的联考无难题，只要肯放弃的精神。这里老徐结合自己多年的教学经验告诉各位，排列组合到底难在什么地方【备战2020年】概率——到底难在哪？第一，题型多样，思路灵活，你以为你懂了，其实如果不抓住本质，把人换成球，你还是不会做。第二，一定要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题，不要你以为怎么样就是怎么样。第三，要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。所以本篇文章老徐给各位考生总结下近些年中出现的排列组合常用的计数方法，并且以图文并茂的方式呈现给你，希望你能真的学会，从此再也不惧怕排列组合。最后如果本篇文章对你有所帮助，千万记得要转发点赞，这就是老徐的动力所在。
基础知识
1、分类加法原理：
如果完成一件事有n类办法，只要选择其中一类办法中的任何一种方法就可以完成这件事；那么若第一类办法中有m1种不同的方法、第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的办法，则完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法。
2、分步乘法原理：
如果完成一件事必须依次完成n个步骤，并且将这n个步骤都完成就可以完成这件事；那么若完成第一个步骤有m1种不同的方法，完成第二个步骤有m2种不同的方法……完成第n个步骤有mn种不同的方法，则完成这件事共有N=m1×m2×……×mn种不同的方法。
3.分类计数加法原理与分步计数乘法原理区别：
分类计数加法原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数乘法原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
4、排列组合的解题过程：
（1）认真审题，看清题目到底要干什么。
（2）怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
（3）确定每一步到底是排列（有顺序之分）还是组合（无顺序之分）。
（4）目前的联考题目类型，大多数排列与组合综合考察，所以务必要理解透彻每一步，不重复，不遗漏。
计数方法1：合理分类，准确分布
要点：解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确、分步层次清楚、不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
计数方法2：特殊元素（位置），优先考虑
要点：特殊元素的排列组合问题，下手点是先从特殊元素入手，搞定特殊元素之后，再排列其他的一般元素；如果是从特殊位置上入手，那么就要先把特殊位置上的元素搞定，然后再处理其他位置上的元素。
计数方法3：总数较少，穷举最适合。
要点：如果答案的总数最大的在10以内的，那么建议最好的方法就是穷举，但是在穷举时切忌要按照一定次序，或者从大到小，或者从小到大，或者按照字母表的顺序穷举，切忌做到每种情况都要过一遍，确保不遗漏，不重复。
计数方法4：相邻问题，捆绑法搞定。
要点：对于某几个要求相邻的排列组合问题，可将相邻的元素看做一个“元”与其他元素排列，然后对“元”的内部进行排列。
计数方法5：不相邻问题，插空法解决。
要点：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排列好的元素之间空隙中及两端插入即可。
计数方法6：相同元素的分配问题——隔板法。
要点：隔板法就是在n个元间的n-1个空中插入若干个隔板，可以把n个元素分成n+1组的方法，应用隔板法必须满足三个条件：
（1）这n个元素必须互不相异；
（2）所分成的每一组至少分得一个元素；
（3）分成的组彼此相异。
计数方法7：分组分派问题——分组除序法。
要点：
（1）不同的元素分给不同的组，如果有出现人数相同的这样的组，并且该组没有“名称”，则需要除序，如果有名称，则不需要除序。
（2）排序时，我们运用乘法原理；而一旦运用乘法原理，就意味着有顺序。而若原本应该无序（仅为分组）或已经定序，那么运用乘法原理就是人为加序，必须除序！在分组问题中，人数相同的组之间互换位置（选择顺序）并不改变分组方式，因此人数相同的组之间必须除序，即等量分组要除序。
以上内容如果看不懂，请查看本篇文章：【备战2020年】分组除序到底是个啥玩意？为何这么难？
计数方法8：正难反易法。
要点：一旦从正面解决起来比较困难，或者分类情况比较多，那么建议从反面入手，那么比较明显的2个词的出现就是“至少”或者“至多”。那么最后计算时，千万别忘记总数减去反面才是正面的情况。
计数方法9：定序问题。
要点：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其他元素一同进行排列，最后再用总的排列数除以这几个元素的全排列。
计数方法10：环形排列问题。
要点：n个元素进行环形排列，共有（n-1）！种排列方法，主要就是由于环形排列没有首尾之分，所以也就是相当于固定一个元素的位置，其他元素进行排列。
老徐写在后
排列组合的方法众多，这也是为什么考生们觉得这块内容难的原因，有的时候你以为你懂了，其实换了一个环境或者元素，你还是不懂，所以这里老徐希望你能真正的体会到每种方法的精髓，而不是似懂非懂，这样才能看题不惊，沉着应对。
